E=mc2 의미, 증명, 유도 완전 정리 (특수 상대성이론 공식 E=mc^2)

 2018년 1월 1일 새해 첫날이다. 블로그 첫 포스트로 E=mc2을 완벽하게 정리하면서 시작하려고 한다. 물론 엄밀하게 따지면 E=mc^2으로 적어야 하겠지만 두 달 전에 정리한 영상을 올리면서 예전 블로그에도 적었듯이 E는 mc제곱 혹은 E는 mc 스퀘어에 대해서 궁금해서 검색해보려는 사람이 ^이 특수문자를 타이핑하지 않고 그냥 E=mc2으로 검색해볼 사람이 격하게 압도적으로 많을 것이기 때문에 이 포스트에서도 계속 E=mc2으로 적도록 하려한다.

 티스토리에서 새해 첫날 새롭게 블로그를 시작하면서 가장 먼저 E=mc2을 선택하게 된 건 전에 쓰던 블로그에서는 할 수 없는 수식입력이 가능하기 때문에 당장 이것부터 적고 싶었다. 그 포스트에서는 다른 수식입력기에서 적어서 이미지 파일로 수식들을 붙여놨는데 첨부하면서도 영 마음에 들지 않았었는데 드디어 그걸 해결하는 날이 왔다. 이제 시작해 본다.

 모바일에서는 latex를 이용한 수식입력이 나타나지 않고 코드 그대로 나타난다는 걸 알고나서 결국 다시 이미지 파일로 바꾼다. 모바일 버전 사용 안 함이 있기는 하지만 그건 득보다 실이 많다고 판단했다.

 위에서 살짝 언급했던 E=mc2를 정리한 영상부터 일단 첨부해놓는다. 사실 이 영상만으로도 고등학교 이과 과정을 마친 사람은 다 이해할 수 있을 정도로 만든 영상이다. 때문에 이 영상을 한 번 보고나서 아래 정리해 놓은 부분을 읽는다면 E=mc2의 의미, 원리, 증명, 유도가 완벽하게 머리 속에서 정리되리라 본다. 그런데 위에서 '일단 첨부해놓는다'고 적은 이유는 정리해놓은 글을 먼저 읽고 마지막에 동영상을 보는 것도 한 가지 방법이 될 수 있다고 생각해서였다.

상대성이론

 E=mc2의 그 탄생부터 시작해보면, 이 누구나 한 번씩 들어본 세계에서 가장 유명한 공식 E=mc2은, 또 누구나 한 번씩은 들어봤을 상대성이론에서 아인슈타인이 발견한 공식이다. 이 상대성이론은 또 크게 2개로 나눠진다. 1905년에 발표한 특수 상대성이론과 아인슈타인이라는 천재도 그 이후로 10년이라는 시간이 더 필요했던 일반 상대성이론이 바로 그 둘이다.

 보통 생각하기에는 일반이 더 쉬울 것 같고 특수라고 하면 괜시리 더 특별히 더 어려울 것 같다는 생각이 들지만 그게 아니라, 일반 상대성이론(theory of general relativity)은 일반적인 모든 상황에 적용되어지는 이론인 데 반해 특수 상대성이론(theory of special relativity)은 가속도 0인 특수한 경우에만 적용되어지는 이론으로 훨씬 간단하고 쉽다. 그래서 특수 상대성이론은 발표된 지 100년도 더 지난 이 시점에서 고등학생들도 관심만 있다면 풀어낼 수 있게 되었다. (아, 그런데 1915년에 발표된 일반 상대성이론도 100년은 지났지만 고등학생이 풀 수 없긴 하네.)

 특수 상대성이론에서 특수에 대한 의미에 대해서 위에서 말했다면 이번엔 뒤에 상대성의 의미에 대해서 말해본다. 주변에 어떠한 것들의 영향을 받지 않아 절대적인 것이 아니라, 주변의 영향에 의해 상대적이라는 것이다. 상대성이론에서 그 주변의 어떤 것은 속도를 말하고, 상대적으로 달라지는 것은 시간이 된다. 서로 속도가 다르면 시간이 다르게 흐르는 것이다. 이 부분은 처음에 직관적으로 이해하기가 굉장히 힘든데 이 것은 빛의 속도가 관찰자의 속도에 상관없이 일정하다는 것에서 출발한다.

시간 팽창

 똑같이 날아오는 빛에 대해서 두 사람, 정지해 있는 사람과 빛이 다가오는 반대방향으로 (말도 안 되긴 하지만 이해하기 쉽게) 빛의 속도로 도망가는 사람이 봤을 때를 보자. 정지해 있는 사람의 경우 당연히 빛이 빛의 속도로 오는 것처럼 보일 것이라는 건 생각하기 쉽다. 그런데 도망가는 사람의 경우엔 빛의 속도로 다가오는 빛을 빛의 속도로 도망가고 있으니 빛이 그에게 도달하지 못 하는 것이 아니라, 그에게도 역시 그 빛은 빛의 속도로 다가간다. 이게 무슨 말도 안 되는 소리인가 할 수 있지만 이 부분을 너무 깊게 들어가기는 그렇고 맥스웰 방정식 등으로 상대성이론 이전부터 광속 불변은 확인되었던 것이니 궁금하신 분들은 따로 알아보기로 하고 넘어간다.

 '속도=거리/시간'에서 달라져야만할 것 같던 상대 속도가 일정하려면? 여기서 바로 아인슈타인이 기존의 틀을 깨고 생각해낸 것이다. 시간이 서로 다르게 흐르거나 거리가 달라진다. 특수 상대성이론의 용어로 말하자면 시간 팽창과 길이 수축이다. 글로써 표현하기엔 다소 힘든 부부이라 영상이 있는 게 아닐까 싶다. 그래서 내가 영상으로 정리를 하기도 했고, 원리에 대해서는 위에 영상을 통해서 확인하는 걸로 하자.

 상대 속도에 따른 시간 팽창은 피타고라스 정리로 구할 수 있다.

질량증가

 위에서 구한 상대론적 시간이 E=mc2에 까지 어떻게 도달할 수 있냐 하면, 시간과 질량이 처음으로 엮이는 물리량, 바로 운동량이다. 운동량은 어떤 움직이는 물체의 상태를 과학적으로 나타낸 것이다. 어떤 바위가 굴러간다고 했을 때 그냥 엄청 무거운 것이 조금 빠르게 굴러간다 이렇게 표현하면 너무 모호하기 때문에 과학적으로 나타내는 건데 이 문장에 다 들어있다. 얼마나 무거운 것이 얼마나 빨리 가느냐, 바로 얼마나 무거운지, 질량과 얼마나 빠른지 속도의 곱이 운동량이다. 그리고 그 움직이는 상태를 얼마나 빨리 바꿀 수 있느냐, 운동량의 변화량을 시간의 변화량으로 나눈 것이 바로 힘이고, 말 나온 김에 쭉쭉 이어가보자. 이 힘으로 얼마나 이동시켰는지, 힘과 거리의 곱이 일이 되고, 마지막으로 이 일을 할 수 있는 능력을 에너지라고 한다.

 이 일과 에너지 부분에 대해서는 이해하기 쉽게 돈을 예로 들어본다. 만약 내가 만원을 가지고 있으면 만원이라는 에너지를 가지고 있는 것이고 그것으로 만원짜리 어떤 것을 샀다면 만원의 일을 한 것이다. 그리고 그 어떤 것을 판 사람은 만원의 일을 받아서 만원의 에너지를 가지게 되는 것 이런 식이다.

 그래서 운동량에서 힘, 힘에서 일이 과학의 개념을 수학적으로 풀면 에너지 E가 나오고 상대론적 질량을 넣어서 이 과정을 하면 E=mc2이 나오게 된다. 어떻게 말나온 김에 쭉쭉 가다보니 과정부터 다 정리해버렸는데 다시 질량증가로 돌아가서.

 같은 출력을 가진 야구공 피칭 기계로 공을 정확히 마주친다고 생각해보자.

 정지해 있는 우주선이건 충돌 방향과 상관없는 상대속도를 가진 우주선이건 밖에서 쏜 공은 똑같은 출력으로 쏴진 두 기계이므로 당연히 똑같이 튕겨나와야한다.

 그런데 밖에서 봤을 때 우주선 안에 공은, 상대속도에 따라서 시간이 늘어지고, 속도=거리/시간에서 시간이 길어지면서 속도가 느려진다. 그런데 똑같이 튕겨나오려면? 그만큼 질량이 증가하게 된다. 식으로 정리해보자.

E=mc^2 유도

 위에서 구한 상대론적 질량을 고전 물리 개념의 질량자리에 넣고 수학으로 정리하면 끝이다. 아까 쭉 정리했던 과학적 개념을 수학적으로 정리해보자. 어떤 힘으로 이동을 시켰을 때 일을 했다고 하고 일을 해주면 에너지가 된다. 힘과 이동거리의 곱은 이동한 모든 위치에서의 힘을 모았다는 것으로 수학적으로 말하면 힘을 위치로 이동거리에 대해서 적분한 것이다. 말로 하니 더 어려운 것 같다. 식은 이렇게 된다.

 그리고 힘은 물체의 움직임 상태를 얼마나 빨리 변화시킬 수 있나, 시간의 변화량 분의 운동량의 변화량으로 운동량을 시간으로 미분한 것이다. 위 식에 대입한다.

 ds/dt는 거리/시간, 즉 속도이고 운동량 p는 위에서 말했다시피 질량과 속도의 곱이다. 이걸 정리하면.

 이제 저 질량 m 자리에 상대론적 질량을 넣어서 수학만 하면 된다.

 이 적분을 하는 데 시작부터 부분적분법이 쓰인다.

 이 부분적분법을 이용해서 풀이 들어간다.

 여기서 치환적분을 쓴다.

 u로 치환하고 vdv도 바꿔주고서 이제 끝까지 쭉쭉 풀어나간다.

 한 번에 가나 했는데 여기서 상대론적 질량과 살짝 변형한 식으로 정리한다는 걸 언급해야 이해가 좀 쉽겠다.

 이 식을 대입해서 정리한다.

 좌변이 물체 전체 에너지 우변은 운동에너지 더하기 정지 물체 에너지가 되는 것인데, 이 길다면 긴 과정을 통해서 끌어낸 이 식이 도대체 무슨 말인지 가정을 한 번 해보자.

 아무것도 안 하고 그냥 정지해 있는, 존재만 하고 있는 물체가 있다고 했을 때, 운동에너지는 0되지만 그 존재만으로도 고유질량 m0에 빛의 속도 3*10^8m/s가 제곱이된 값이 곱해지는 에너지가 된다는 것이다. 좀 더 와닿게 돈으로 가보자. 단 1g, 0.001kg의 어떤 질량이 E=mc2으로 변환된 에너지만큼 전기를 쓴다고 했을 때 전기세가 얼마나 되는지 계산해봤다. 물론 손실 없이 그대로 전기에너지로 변환하는 게 현재로서는 불가능하다는 점은 알지만 간접적으로나마 체감을 해보자는 입장에서 해봤다.

 이만큼의 에너지가 되고 이걸 전기세로 계산해본다. 400kWh 초과시 기본요금은 7300원이고 kWh당 280.6원으로 계산한다.

 단 1그램으로 70억 1500만 7300원의 전기세가 드는 에너지가 된다. 물론 이게 내 몸에 붙어있는 군살 질량 덩어리 조금 떼어내서 에너지로 바꿀 수 있고 이런 건 아니다. 현재로서는 말이다. 그렇다고 이론만 있을 뿐 쓸데없는 공식이 아닌 우라늄이 핵분열할 때, 수소가 헬륨으로 핵융합할 때 약간의 질량이 에너지로 변환된다. 그것을 이용해서 원자력 발전을 하고 있으며, 핵융합 발전을 개발해가는 중이고 또한 저 위쪽에서 주구장창 실험하고 있는 그 무시무시한 것도 이를 이용한 것이다.

 첫 포스트부터 힘을 너무 뺀 것 같다. 그런데 처음이니만큼 그것도 1월 1일 시작과 함께 쓰는 것이라 힘을 좀 주고 싶었다. E=mc2에 대해서 궁금해 할 많은 사람들이 이 포스트를 보고 가려운 부분을 시원하게 긁는 듯한 기분을 느끼길 바란다.